АНАЛИЗДИК ФУНКЦИЯ

АНАЛИЗДИК ФУНКЦИЯ – даражалуу катар түрүндө көрсөтүлүүчү функция. А. ф-лар теориясы комплекстик өзгөрмөлүү функциялар теориясы катары пайда болуп азыркы күндө да анын негизин түзөт. А. ф-лар теориясы XIX к-да түзүлүп, анын калыптанышына О. Коши, Б. Риман жана К. Вейерштрасстар көп салым кошкон. А. ф-лар классынын маанилүүлүгү төмөнкүлөр менен аныкталат: 1) көлөмдүү, элементардык (көп мүчөлөр, рационалдык ж. б.) жана атайын функциялар (эллипстик, цилиндрлик ж. б.) кирет; 2) А. ф-лар классы арифметика, алгебра жана анализдин негизги амалдарына карата туюк, б. а. А. ф-ларга арифм. негизги амалдарды колдонгондо, анализдик коэфф-түү алг. тендемелерди чыгарганда жана аны дифференциалдаганда, интегралдаганда кайра эле А. ф-ны алабыз; 3) А. ф. орчундуу жалгыздык касиетине ээ: ар бир А. ф. «бир түйүндү» түзөт, өзүнүн жашоо облусунда «бирдиктүү» функция болот. Ал атайын функциялар теориясында, о. эле математиканын башка бөлүмдөрүндө, физикада, механикада, айрыкча гидродинамикада кеңири колдонулат. Эгер D облусунда аныкталган f(z) комплекстүү маанилүү функциясы z₀ ᕮ D чекитинин аймагында f(z)=a₀+a₁(z -z₀)+...+a_n(z-z₀)ⁿ +..'. даражалуу катары менен аныкталса, анда ал z₀ чекитинде анализдик (голоморфтуу) деп аталат. D облусунун бардык чекиттеринде анализдик болгон функция бул облуста А. ф. болот. z₀ ᕮ D чекитинде А. ф. болсо бул чекитте дифференциаланат. f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мында z=x+iy функциясы z₀ ᕮ D чекитинде А. ф. болсо, анда Коши – Риман шарты ${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}$

аткарылат. А. ф. теориясында Кошинин интегралдык теоремасы чоң мааниге ээ: эгер f(z) функциясы D облусунда А. ф. болсо, анда D облусуна тиешелүү болгон каалаган облусту чектеген Г туюк ийри сызыгы үчүн $\int \limits _{\text{Г}}f(z)dz=0$
деп жазылат. Буга тескери теорема да орун алат: эгер f(z) функциясы

D облусунда үзгүлтүксүз жана каалагандай Г ⸦ D
туюк контур үчүн
$\int \limits _{\text{Г}}f(z)dz=0$
болсо, анда f(z) функциясы D облусунда А. ф. болот (Морера теоремасы).
$f(z)={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\text{Д}}{{f(\xi )d\xi } \over {z-\xi }},$

z ϵ D Кошинин интегралдык формуласы. D облусунда анализдик жана бул облуста пределдик чекитке ээ болгон кандайдыр бир көптүктө бири бирине дал келүүчү эки функция бүт D облусунда бири бирине дал келет. Айрым алганда, нөлдөн айырмаланган D облусунда ал обочолонгон нөлдөргө гана ээ болушу мүмкүн. А. ф-нын аналитикалуулугу бузулган чекиттери өзгөчө чекиттер деп аталат. Бүт тегиздиктеги А. ф. бүтүн функция деп аталат.
Ад.: СидоровЮ.В., Федерюк М.В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: 1989; Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., 1969; Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М., 1969.

                                                                                                                                      Б.Э. Сулайманов.