АНАЛИЗДИК ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИЗДИК ГЕОМЕТРИЯ– геометриянын объекттерди (түз сызык, тегиздик, ийри сызык жана экинчи тартиптеги беттер) координаталар методунун негизинде алг. түшүнүктөргө таянып изилдөөчү бөлүмү. Координата жана элементардык алгебранын ыкмалары – А. г-нын негизги изилдөө булактары. Координата ыкмасынын пайда болушу 17-к-да астрономия, механика жана техниканын дүркүрөп өсүшүнө тыгыз байланыштуу болгон. Р. Декарт өзүнүн «Геометриясында» (1637) бул ыкманы так жана толук баяндаган. Бул ыкманын негизги идеялары анын замандашы П. Фермага белгилүү болгон. А. г-нын өнүгүшү Г. Лейбниц, И. Ньютон, өзгөчө Л. Эйлердин эмгектери менен байланыштуу. А. г-ны Ж. Лагранж механикага, ал эми Г. Монж дифференциалдык геометрияга колдонушкан. Учурда А. г-нын ыкмалары математика, механика, физика ж. б. илимдердин түрдүү тармактарында кеңири колдонулууда. Тегиздиктеги координаталар ыкмасынын негизги идеясы – сызыктын геом. касиеттери анализдик жана алг. жол менен анын F(x, у)=О теңдемесинин касиеттерин окуп-үйрөнүү аркылуу аныкталат. Тегиздиктеги А. г-да тегерек конустун тегиздик менен кесилишинен пайда болгон эллипс, гипербола, параболанын геом. касиеттери изилденет. Бул сызыктар табият таанууда, техниканын маселелеринде көп кездешет. Тегиздиктеги А. г-да биринчи жана экинчи тартиптеги алг. сызыктар изилденет. Биринчи тартиптеги сызыктар түз сызыктар болушат жана тескерисинче, ар бир түз сызык биринчи даражадагы алг. теңдеме Ах+Ву+С=0, экинчи тартиптеги ийри сызыктар Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+L=0 теңцемеси менен аныкталат. Декарттык тик бурчтуу координаталар системасын тандоо аркылуу сызыктын тендемесин эң жөнөкөй түргө келтирүү жана аны изилдөө сызыктарды изилдөөнүн жана класстарга бөлүүнүн негизги методу болуп саналат. Ушундай жол менен экинчи тартиптеги каалаган сызыктын теңдемеси төмөнкү жөнөкөй теңдемелердин бирине келтирилиши мүмкүн:${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$

– эллипс;

${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}$

– гипербола;

${\textstyle y_{2}=2px}$

– парабола; ${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=0\quad {\text{ж-а}}\quad x_{2}=a_{2}}$

– түгөй түз сызыктар. Мейкиндиктеги А. г-да тегиздиктеги сыяктуу эле өз ара перпендикуляр үч түз сызыктан турган Охуz декарттык тик бурчтуу координаталар системасы түзүлөт. Тегиздиктин М чекитинин координаталары: х – абсцисса, у – ордината, z – аппликата сандары менен аныкталып, М(х, у, z) түрүндө жазылат. Мейкиндикте тегиздик Ax+By+Cz+D=0 теңдемеси менен аныкталат. Биринчи тартиптеги алг. беттер бир гана тегиздик деп түшүндүрүлөт. Экинчи тартиптеги беттер төмөнкү тендеме менен аныкталат: Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Mz+N=0. Бул беттерди изилдөөнүн жана классификациялоонун негизи ыкмасы – алардын тендемелери кыйла жөнөкөй декарттык тик бурчтуу координаталар системасын тандоо жана ушул жөнөкөй теңдемени изилдөө. Экинчи тартиптеги беттердин негизгилери:
${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

- эллипсоид; ${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$- бир көндөйлүү гиперболоид; ${\textstyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1}$- эки көндөйлүү гиперболоид;

${\textstyle 2z={x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}}$- эллипстик параболоид;

${\textstyle 2z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}}$- гиперболалык параболоид.

Экинчи тартиптеги бул беттер механикада, катуу телолор физикасында, теориялык физикада, инж. иштерде ж. б. кеңири колдонулат.
Ад.: Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М., 1967.

Б. Э. Канетов.