АНАЛИЗДИК ФУНКЦИЯ

АНАЛИЗДИК ФУНКЦИЯ – даражалуу катар түрүндө көрсөтүлүүчү функция. Анализдик функциялар теориясы комплекстик өзгөрмөлүү функциялар теориясы катары пайда болуп азыркы күндө да анын негизин түзөт. Анализдик функциялар теориясы XIX к-да түзүлүп, анын калыптанышына О. Коши, Б. Риман жана К. Вейерштрасстар көп салым кошкон. Анализдик функциялар классынын маанилүүлүгү төмөнкүлөр менен аныкталат: 1) көлөмдүү, элементардык (көп мүчөлөр, рационалдык ж. б.) жана атайын функциялар (эллипстик, цилиндрлик ж. б.) кирет; 2) Анализдик функциялар классы арифметика, алгебра жана анализдин негизги амалдарына карата туюк, башкача айтканда анализдик функцияларга арифметикалык негизги амалдарды колдонгондо, анализдик коэффициенттүү алгебралык теңдемелерди чыгарганда жана аны дифференциалдаганда, интегралдаганда кайра эле анализдик функцияны алабыз; 3) Анализдик функция орчундуу жалгыздык касиетине ээ: ар бир анализдик функция «бир түйүндү» түзөт, өзүнүн жашоо облусунда «бирдиктүү» функция болот. Ал атайын функциялар теориясында, ошондой эле математиканын башка бөлүмдөрүндө, физикада, механикада, айрыкча гидродинамикада кеңири колдонулат. Эгер D облусунда аныкталган f(z) комплекстүү маанилүү функциясы z0 ᕮ D чекитинин аймагында f(z)=a0+a1(z -z0)+...+an(z-z0)n +... даражалуу катары менен аныкталса, анда ал z0 чекитинде анализдик (голоморфтуу) деп аталат. D облусунун бардык чекиттеринде анализдик болгон функция бул облуста анализдик функция болот. z0 ᕮ D чекитинде анализдик функция болсо бул чекитте дифференциаланат. f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мында z=x+iy функциясы z₀ ᕮ D чекитинде анализдик функция болсо, анда Коши – Риман шарты ${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}$ аткарылат. Анализдик функция теориясында Кошинин интегралдык теоремасы чоң мааниге ээ: эгер f(z) функциясы D облусунда анализдик функция болсо, анда D облусуна тиешелүү болгон каалаган облусту чектеген Г туюк ийри сызыгы үчүн $\int \limits _{\text{Г}}f(z)dz=0$ деп жазылат. Буга тескери теорема да орун алат: эгер f(z) функциясы D облусунда үзгүлтүксүз жана каалагандай Г ⸦ D туюк контур үчүн
$\int \limits _{\text{Г}}f(z)dz=0$
болсо, анда f(z) функциясы D облусунда анализдик функция болот (Морера теоремасы).
$f(z)={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\text{Д}}{{f(\xi )d\xi } \over {z-\xi }},$

z ϵ D Кошинин интегралдык формуласы. D облусунда анализдик жана бул облуста пределдик чекитке ээ болгон кандайдыр бир көптүктө бири-бирине дал келүүчү эки функция бүт D облусунда бири-бирине дал келет. Айрым алганда, нөлдөн айырмаланган D облусунда ал обочолонгон нөлдөргө гана ээ болушу мүмкүн. Анализдик функциянын аналитикалуулугу бузулган чекиттери өзгөчө чекиттер деп аталат. Бүт тегиздиктеги анализдик функция бүтүн функция деп аталат.

Ад.: СидоровЮ.В., Федерюк М.В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: 1989; Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., 1969; Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М., 1969.

                                                                                                                                      Б.Э. Сулайманов.