КӨПТҮКТӨР ТЕОРИЯСЫ

КӨПТҮКТӨР ТЕОРИЯСЫ – математиканын негизги бөлүмү. Ал көптүктүн касиеттерин ж-а алардын чагылтууларын изилдейт. Муну Г. Кан­тор изилдеген. К. т-нын негизги түшүнүгү – эле­менттин көптүккө таандыгы (белгилениши хEМ, «X»–M – көптүктүн элементи). Мындан төмөнкүлөр алынат: эгерде М көптүгүнүн бар­дык элементтери К көптүгүнүн элементи болсо, анда М көптүгү К көптүгүнүн камтылган көптүгү деп аталат (белгилениши McК). Эгерде McК ж-а КcМ болсо, анда К=М болот. Бир дагы элементи болбогон көптүк – куру көптүк (бел­гилениши 0). К. т-нда төмөнкүлөр каралат:

1) көптүктөр м-н болгон амалдар, биригүүсү (бел­гилениши u), кесилиши (белгилениши n), айыр­масы (белгилениши \) анын айрым учуру – то­луктоосу; түз (же декарттык) көбөйтүндүсү, түз суммасы; берилген көптүктүн бардык камтыл­ган көптүгүн түзүү; эквиваленттүүлүк катыштар­дын берилгендери б-ча фактор көптүгүн түзүү; көптүктөрдүн өз ара же элементтеринин ара­сындагы ба йланыштары ж-а алар дын ка­сиеттери: эгерде T – катышы ж-а <xTx> чыны­гы сан болсо, анда Т – рефлекстүү (өзү кайта­ланма) деп аталат. Эгер <xTy> тен <yTx> чык­са, анда Т – симметриялуу деп аталат (мис., <<x²тин белгиси y>>). Эгерде <xTy> ж-а <yTx> тен x=y болсо, анда Т антисимметриялуу деп аталат (мис., c катышы, тартиптин катышы

S). Эгер <xTy> ж-а <<yTz>> тен <<xTz>> ке­лип чыкса, анда Т – транзиттүү делет (алмаш­ма). Эгерде Т – рефлекстүү, симметриялуу ж-а транзиттүү болсо, анда Т – эквиваленттүүлүк ка­тыш деп аталат; 3) чагылтуулар (функция, опе­ратор, өзгөртүү) ж-а аларга аракет кылган көп­түктөрдүн табиятына көз каранды болбогон конкреттүү касиеттери; аларга сюръекциялык (же толук чагылтуу), инъекциялык (комплекс­түү өзгөрмө функциялардын теориясында бул касиет «бир барактуулук» деп да аталат), бу­ларды айкалыштырган касиет биекциялык (же

өз ара бир маанилүүлүк) касиеттер таасир этет; 4) чагылтуулар м-н болгон амалдар; суперпози­ция, чагылтууларды кысуу ж-а кеңейтүү; 5) ча­гылтуулардагы көптүктөрдүн түспөлдөрү ж-а түп нускалары; 6) көптүктөрдүн кубаттуулугу, бул көптүктүн табиятына көз каранды болбогон кон­креттүү жалгыз касиети. Каалагандай матем. объектини катыштары же чагылтуулары бел­гилүү бир же бир нече көптүк катары аныктоо­го болот. Мис., натуралдык сандардын R көптү­гү – ал көптүктүн чектүү сандагы элементтери гана каалагандай элементтен кичине боло тур­ган иреттелген чексиз көптүгү болот. Дедекинд б-ча G көптүгүнүн кесилиши чыныгы сандардын көптүгү. К. т. матем. логика м-н тыгыз байла­нышкан.

Ад.: Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977; Кантор Г. Труды по теории множеств / Пер. с нем. М.: 1985.