ИНТЕГРАЛДЫК ЭСЕПТӨӨ

ИНТЕГРА́ЛДЫК ЭСЕПТӨӨ – математиканын бир бөлүмү; интегралдын касиетин, аны эсептөө жолун, түрдүү математикалык ж-а физикалык маселелерди чы­гарууда колдонулушун изилдейт. Ал дифферен­циал эсептөөлөрү м-н тыгыз байланышта ж-а математикалык анализдин негизги бөлүмүн тү­зөт. Интегралдык эсептөөнүн келип чыгышы аянттарды ж-а кө­лөмдөрдү эсептөөгө байланыштуу. Мындай бир катар маселелерди байыркы грек математикте­ри (Евдокс Книдский, Архимед ж. б.) чечиш­кен. Мындай маселелерге кызыгуу Европада 16– 17-кылымдарда башталган. Бул мезгилде интегралдык эсептөөнүн ка­лыптанышына ж-а өнүгүшүнө немис И. Кеп­лер, италян Б. Кавальери, англис Ж. Валлис, француздар Э. Торричелли, Б. Паскаль, П. Фер­ма, голланд X. Гюйгенс өңдүү математиктер са­лым кошкон. Интегралдык эсептөөнүн өнүгүшүнө И. Ньютон м-н немис математиги Г. Лейбництин эмгекте­ри таасир тийгизген. Алар интегралдык эсептөөнүн негизги түшү­нүктөрүн ж-а алгоритмин өз алдынча түзүшкөн. «Интегралдык эсептөө» термини ж-а интегралдын белгилениши Лейбницке таандык. Интегралдык эсептөөнүн негизги түшүнүк­төрү – өз ара байланышкан аныкталбаган инте­грал ж-а аныкталган интеграл. Аныкталбаган интеграл – дифференциалдоого тескери амал. Эгер дифференциал эсептөөлөрүндө белгилүү функция боюнча анын туундусу табылса, ал эми Интегралдык эсептөөдө тескери функциянын туундусу б-ча ал функциянын баштапкы түрү аныкталат. Анык­талбаган интеграл үчүн жетиштүү шарт – берил­ген аралыкта функциясынын үзгүлтүксүздүгү. Интегралдоо м-н дифференциалдоо амалдары­нын өз ара бири бирине өтүшү d∫f(x)dx=f(x)dx; ∫dF(x)=F(x)+C барабардыктары м-н туюнтулат. Мындан дифференциалдоонун формулалары м-н эрежелеринен интегралдоонун тиешелүү формулалары ж-а эрежелери алынат. ∫ x^m dx = x m+1 m + 1 _a x + C, a ≠ 1; dx ∫ = ln x + C x ∫ a^x dx = lna + C, a > 1, a ≠ 1; a^{x =} e^x болсо,

∫ е^x dx = e^{x +} C; ∫ sinxdx = –cosx + C; dx ∫ cosxdx = sinx + C ; ∫ dx cos² x dx = tgx + C;

∫ sin²x dx = −сtgx + C; ∫ 1 + x² = arctgx + C;

2 1 − x =arc s inx +C; ∫[f (x)+f (x)]dx = a =∫f (x)dx ± ∫f (x)dx; ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx, k – ту­руктуу сан; ∫udv=uv – ∫udv (бөлүктөп интеграл­доо формуласы); эгерде x = ϕ(t) болсо, анда dx = ϕ′(t)dt ж-а ∫f(x)dx =∫[f(ϕ(t))] ·ϕ′(t)dt (өзгөр­мөнү алмаштыруу формуласы).

А н ы к т а л г а н и н т е г р а л – интеграл­доонун жогорку пределинен функция болуучу интегралдын алдындагы функциянын баштапкы функцияларынын бири. Ал ∫_a f (x)dx түрүн­дө аныкталат. Бул интегралдын бир түрү – Коши интегралы. Аныкталган интегралдын геометриялык мааниси аянт түшүнүгү м-н байланыштуу. Фи­гура м-н беттин аянтын, нерсенин көлөмүн, оор­дук борборунун координаталарын ж. б-ды эсеп­төө м-н аныкталган интеграл табылат. [a, b] кесиндисинде үзгүлтүксүз функциядан алынган аныкталган интеграл – ал функциянын баш­тапкы функциясынын кесиндинин учтарын­дагы маанилеринин айырмасына барабар, башкача айтканда b ∫a f (x)dx = F(b) − F(a) (Ньютон-Лейбниц фор­муласы). Аныкталган интеграл аныкталбаган интегралдын формулалары ж-а эрежелери м-н эсептелет. Интегралдык эсептөө математиканын көп бөлүм­дөрүндө (дифференциал ж-а интеграл теңдеме­лери теориясында, ыктымалдык теориясында ж-а математикалык статистикада, оптимал­дык процесстер теориясында ж.б.) ж-а анын колдонмолорунда пайдаланылат. Ньютондун эмгектеринде аныкталбаган интеграл жөнүндөгү тү­шүнүк, ал эми Лейбництин эмгектеринде анык­талган интеграл жөнүндөгү түшүнүктөр негизги рол­ду ойногон. Интегралдык эсептөөнүн андан аркы өнүгүшү 18-кылымда швейцариялык математик И. Бернулли, франциялык математик Ж. Лагранж ж-а өзгөчө Л. Эйлер­дин ысымы м-н байланыштуу. 19-кылымда интегралдык эсептөөнү өнүктүрүүгө О. Коши, немис математиги Б. Ри­ман, орус математиктери М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышевдер салым кошкон. 19-кылымдын аягы – 20-кылымдын башында көптүктөр теориясынын ж-а чыныгы өзгөрмөлүү функциялар теориясынын өнүгүшү интегралдык эсептөөнүн не­гизги түшүнүктөрүн тереңдетүүгө ж-а жалпы­лоого алып келди.

Ад.: Эйлер Л. Интегральное исчисление / Пер. с латин. Т. 1 – 3. М., 1956–58; Усубакунов Р. Дифферен­циалдык жана интегралдык эсептөөлөр. 2-б. Ф., 1969; Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1988.

Б.Н. Назаркулова.